量子算法

期末考核方式

课程报告

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符号系统

线性代数

• n元向量：$\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\\cdots \\u_n \end{bmatrix}\equiv|u \rangle$（列向量）
• 向量数乘: $a|u \rangle$
• 将空间V映到W的线性算子：$A: V \rightarrow W$（亦可将一个向量映成另一个）若$A: V \rightarrow V$，则呈A定义在V上的线性算子
• Identity operator: $I: V \rightarrow V$

Pauli Matrix

• $\sigma^0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
• $\sigma^1 =\sigma^x = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
• $\sigma^2 =\sigma^y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$
• $\sigma^3 =\sigma^z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

内积

• $\langle u|v \rangle = u_1 v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n$
• 共轭向量：$v^{*} or \langle v|$（也就是对每个值取共轭）
• 转置:$v^T$
• Kronecker symbol: $\langle i|j\rangle=\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i\neq j \end{cases}$

施密特正交化

对于正交化的向量组$\{u\}$，有$\langle u_i|u_j \rangle = \delta_{ij}$

向量和算子的矩阵表达

• 对于让以$\{v_i\}$为基的向量空间V映成$\{w_i\}$为基的向量空间W的线性算子A，有$A_{ij} = \sum_j A_{ji}|w_j\rangle \langle v_i|$

特征值分解

• 若A可被对角化，则A可分解为$A = \sum\limits _i \lambda _i |v_i\rangle \langle v_i|$
• 不是所有的算子都可被对角化，本课程不考虑这种情况

伴随矩阵

• 对于线性矩阵A，其伴随矩阵$A^{\dagger}$

Projector（投影）

若k维空间W是d维空间V的子空间，则存在一个投影算子$P:V\rightarrow W$，使得$P = \sum_{i = 1}^{k}|i\rangle\langle i|,P^2 = P$

• Unitary operator（酉算子）：若$U^{\dagger}U = I$

• Hermite operator（厄米算子）：若$A^{\dagger} = A$